簡(jiǎn)介中山大學(xué)2014學(xué)年第3學(xué)期《量子力學(xué)》期末試卷A卷含標(biāo)準(zhǔn)解答由賀彥章老師命題閉卷考試時(shí)長(zhǎng)一百二十分鐘滿分一百分面向物理科學(xué)與工程技術(shù)學(xué)院本科生也適合物理專業(yè)考研者與青年教師備課參考。試卷共五道大題覆蓋一維勢(shì)場(chǎng)中粒子的測(cè)量后波函數(shù)與動(dòng)量分布函數(shù)推導(dǎo)、含δ勢(shì)場(chǎng)的奇偶宇稱態(tài)及束縛態(tài)條件分析、一維諧振子第一激發(fā)態(tài)的歸一化系數(shù)、最可幾位置以及位置動(dòng)量動(dòng)能勢(shì)能期望值計(jì)算等典型問題每道題均按步驟給出詳細(xì)推導(dǎo)過程包括利用傅里葉變換將位置波函數(shù)轉(zhuǎn)換為動(dòng)量空間波函數(shù)、借助邊界連續(xù)性與導(dǎo)數(shù)躍變條件推導(dǎo)奇宇稱態(tài)存在條件、運(yùn)用積分公式完成歸一化等關(guān)鍵技巧。壓縮包內(nèi)為單個(gè)PDF文件共一份大小三百三十九KB包含試卷原題與完整解答結(jié)構(gòu)清晰便于打印研習(xí)。目前已有四十九人學(xué)習(xí)下載適合作為期末復(fù)習(xí)、考研刷題或教學(xué)輔助材料。1. 量子力學(xué)A卷閉卷推導(dǎo)題的命題套路與拿分順序如果你正在備考量子力學(xué)期末最該先搞清楚的問題不是“哪些知識(shí)點(diǎn)要背”而是“考卷在逼你做什么”。這份某高校2014學(xué)年第3學(xué)期《量子力學(xué)》A卷閉卷120分鐘5道大題覆蓋了波函數(shù)塌縮、一維勢(shì)場(chǎng)定態(tài)解、諧振子期望值、含時(shí)磁場(chǎng)分離變量和Mach-Zehnder干涉量子計(jì)量。從考點(diǎn)分布就能看出整張卷子幾乎全是推導(dǎo)題每個(gè)小問都標(biāo)注分值連“選做”討論題也要按步驟展開沒有任何一問能靠默寫概念拿分。所以備考重心必須放在“按步驟寫推導(dǎo)”這件事上而不是泛讀教材例題。下面按試卷結(jié)構(gòu)拆出高頻考點(diǎn)與答題思路每道題都給出判分點(diǎn)和你最容易失分的位置。這份備考筆記適合兩類人一類是臨考沖刺、需要按題型背推導(dǎo)模板的在校生另一類是準(zhǔn)備物理專業(yè)面試、想快速回顧量子力學(xué)核心計(jì)算套路的考生。2. 高頻考點(diǎn)一測(cè)量塌縮與動(dòng)量分布——第一題的出題意圖和推導(dǎo)鏈2.1 測(cè)量后的波函數(shù)位置測(cè)量為何直接寫δ(x)第一題題干很簡(jiǎn)短一維粒子在某勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)t0時(shí)刻測(cè)量發(fā)現(xiàn)粒子出現(xiàn)在x0位置。第(1)問只有1分問測(cè)量后的t0時(shí)刻波函數(shù)是什么。這里考查的是量子測(cè)量公設(shè)對(duì)位置進(jìn)行精確測(cè)量后系統(tǒng)狀態(tài)塌縮到位置算符的本征態(tài)在坐標(biāo)表象中最簡(jiǎn)潔的表示就是δ函數(shù)即ψ(x,0)δ(x)這個(gè)答案看似簡(jiǎn)單但判分點(diǎn)有三個(gè)層次。第一層你要明確寫出“測(cè)量后波函數(shù)為位置本征態(tài)”這個(gè)物理判斷而不是直接默寫δ(x)第二層要說明δ函數(shù)的歸一化約定即∫δ(x)dx1第三層如果你能補(bǔ)一句“測(cè)量后粒子波包完全局域化后續(xù)演化由撤銷勢(shì)場(chǎng)后的自由粒子哈密頓量決定”就能為第(2)問鋪路。很多同學(xué)在這里丟分不是因?yàn)椴粫?huì)寫δ(x)而是沒有交代物理依據(jù)直接跳結(jié)果。2.2 撤銷勢(shì)場(chǎng)后的動(dòng)量分布傅里葉變換的書寫順序第(2)問占5分是整張卷子第一個(gè)真正考驗(yàn)推導(dǎo)能力的題目。撤銷勢(shì)場(chǎng)后粒子做自由運(yùn)動(dòng)t≥0時(shí)刻的波函數(shù)由自由粒子傳播子決定。但題目只要求動(dòng)量分布函數(shù)最常見的答法是先把初始波函數(shù)做傅里葉變換得到動(dòng)量空間波函數(shù)φ(p,0)1/√(2π?)∫ψ(x,0)e^{-ipx/?}dx代入ψ(x,0)δ(x)由δ函數(shù)的篩選性質(zhì)直接得到φ(p,0)1/√(2π?)也就是說動(dòng)量空間波函數(shù)是一個(gè)與p無關(guān)的常數(shù)概率密度為|φ(p)|21/(2π?)這就對(duì)應(yīng)了一個(gè)物理結(jié)論位置完全確定的粒子動(dòng)量完全不確定動(dòng)量各分量出現(xiàn)的概率處處相等。后續(xù)含時(shí)演化只需乘以自由粒子相位因子e^{-ip2t/2μ?}但動(dòng)量概率密度不變因?yàn)橄辔灰蜃幽ｉL(zhǎng)為1。答題時(shí)要明確寫出這個(gè)步驟說明“動(dòng)量分布不隨時(shí)間變化”是由相位因子的幺正性保證的這樣能把物理圖像說完整。2.3 第(3)問討論題的拿分策略從不確定性原理切入帶星號(hào)的選做討論題看似可以跳過但如果你答完前兩問還有余力這1~2分是最好拿的額外分。討論題通常不要求復(fù)雜計(jì)算而是考查你是否理解測(cè)量過程的物理意義。這道題的討論切入點(diǎn)有兩個(gè)角度。角度一是海森堡不確定性原理初始測(cè)量把粒子位置精確確定到δ函數(shù)對(duì)應(yīng)位置不確定度Δx0于是動(dòng)量不確定度Δp→∞動(dòng)量分布必須是均勻的這與第(2)問的計(jì)算結(jié)果完全自洽。角度二是測(cè)量塌縮的時(shí)間演化測(cè)量瞬間波函數(shù)塌縮到δ(x)撤去勢(shì)場(chǎng)后粒子不再受力波包按自由粒子演化迅速彌散展開。如果你還能聯(lián)系到“實(shí)際測(cè)量不可能做到精確測(cè)到單一點(diǎn)Δx≈0只是理想化模型”分?jǐn)?shù)會(huì)更完整。這類討論題不需要長(zhǎng)篇大論三到五句話講清物理圖像即可。3. 高頻考點(diǎn)二一維勢(shì)場(chǎng)定態(tài)方程與奇宇稱態(tài)——第二題的完整推導(dǎo)鏈3.1 定態(tài)薛定諤方程的寫出與化簡(jiǎn)注意分段區(qū)域第二題給的是一個(gè)左右對(duì)稱的勢(shì)場(chǎng)中間是δ勢(shì)阱兩側(cè)是有限高勢(shì)壘。第(1)問要求寫出定態(tài)薛定諤方程并化簡(jiǎn)分值9分是整個(gè)試卷中單問分值最高的一步。這類題作答邏輯是固定的先寫含參數(shù)的定態(tài)薛定諤方程再按區(qū)域化簡(jiǎn)。這里把解的空間劃分為三個(gè)區(qū)域x∈[-a,a]為阱內(nèi)、xa和x-a為兩側(cè)。化簡(jiǎn)的關(guān)鍵是引入特征波數(shù)。定義k√(2μE/?2)κ√(2μ(U?-E)/?2)當(dāng)E0時(shí)阱內(nèi)振蕩解用k描述當(dāng)EU?時(shí)兩側(cè)指數(shù)衰減解用κ描述。引入這兩個(gè)參數(shù)后方程改寫為d2ψ/dx2k2ψ0阱內(nèi)d2ψ/dx2-κ2ψ0兩側(cè)這步“寫出-分段-換參數(shù)”三步走是標(biāo)準(zhǔn)模板判分時(shí)老師會(huì)按步驟給分即使最后結(jié)果錯(cuò)了只要是按三段式寫的中間步驟分也能保住大半。注意陷阱δ勢(shì)在x0處會(huì)造成波函數(shù)導(dǎo)數(shù)突變這個(gè)條件不是直接代入微分方程而是通過對(duì)δ勢(shì)鄰域積分得到連接條件很多同學(xué)會(huì)漏掉這一步。3.2 奇宇稱本征態(tài)波函數(shù)的構(gòu)造對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算第(2)問占12分是最值錢的一問。已知E0且考慮奇宇稱解奇宇稱條件ψ(-x)-ψ(x)能讓常數(shù)個(gè)數(shù)從4個(gè)減到2個(gè)。整體思路是先利用宇稱對(duì)稱性判斷解的形態(tài)再代入δ勢(shì)連接條件求系數(shù)關(guān)系。借助提示“不需要確定波函數(shù)的振幅”可先設(shè)奇宇稱解形式為區(qū)域x∈[-a,a]ψ(x)B sin(kx)奇函數(shù)在原點(diǎn)過零兩側(cè)ψ(x)C e^{-κx}xaψ(x)-C e^{κx}x-a這里B和C是兩個(gè)待定常數(shù)后續(xù)代入邊界條件不需求它們的絕對(duì)值只需求B/C的比值。這就是提示的真正含義——很多同學(xué)看到“不需要確定振幅”會(huì)誤以為可以跳過邊界條件實(shí)際上邊界條件是用來求比值的不是用來求絕對(duì)值的。3.3 基態(tài)的波函數(shù)與概率密度示意圖三步畫法第(3)問占2分要求根據(jù)第(2)問結(jié)果畫出基態(tài)波函數(shù)和概率密度的示意圖。這是這道題最容易暴露出知識(shí)漏洞的地方——不是計(jì)算不會(huì)而是圖畫錯(cuò)。畫圖遵循三步走。第一步看波函數(shù)基態(tài)是奇宇稱原點(diǎn)處ψ(0)0阱內(nèi)是正弦振蕩形態(tài)兩側(cè)是指數(shù)衰減。第二步看概率密度|ψ|2是偶函數(shù)原點(diǎn)處為零只要有波函數(shù)零點(diǎn)位置概率密度必然有一個(gè)“空腔”。第三步看量級(jí)關(guān)系概率密度在阱內(nèi)呈現(xiàn)波狀起伏兩側(cè)單調(diào)衰減到零不存在無限延伸的周期解。具體的做法是畫波函數(shù)時(shí)先標(biāo)出原點(diǎn)為零點(diǎn)再標(biāo)出邊界a處兩側(cè)曲線平滑過渡這樣概率密度圖就能保證形狀正確。最常見錯(cuò)誤是把奇宇稱基態(tài)畫成原點(diǎn)處概率最大那其實(shí)是偶宇稱基態(tài)的形態(tài)。3.4 奇宇稱態(tài)存在條件的推導(dǎo)對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)連接法第(4)問占4分要求推導(dǎo)奇宇稱態(tài)允許存在的條件。這里的核心方法是對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)也就是利用波函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之比在邊界處的連續(xù)性。由于奇宇稱解在邊界xa處有ψ(a)/ψ(a)-κ阱內(nèi)部分給出ψ(a)/ψ(a)k cot(ka)令兩者相等得到-k cot(ka)κ整理成存在條件k cot(ka)-κ 或等價(jià)地 ka 滿足 tan(ka)-k/κ加上k與κ的定義關(guān)系k2κ22μU?/?2這是一個(gè)關(guān)于能量的超越方程。用數(shù)值或圖解法可看出它只在特定能級(jí)上有解這就是“允許存在條件”的完整含義。作答時(shí)不要只寫tan公式要保留k2κ2這個(gè)關(guān)系式因?yàn)榕蟹贮c(diǎn)往往在“兩個(gè)方程聯(lián)立才能確定離散能級(jí)”這句話上。3.5 EU?時(shí)非束縛態(tài)的證明出題人設(shè)的陷阱第(5)問占4分證明當(dāng)EU?時(shí)薛定諤方程的解不是束縛態(tài)。對(duì)這問的應(yīng)對(duì)方式很簡(jiǎn)單束縛態(tài)的定義是波函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處趨于零且在有限區(qū)域外出現(xiàn)的概率可以忽略。而EU?意味著兩側(cè)區(qū)域中的k22μ(E-U?)/?20薛定諤方程的解從指數(shù)衰減變?yōu)檎袷幮问絰a區(qū)域ψ(x)D e^{ikx}F e^{-ikx}這是平面波疊加在無窮遠(yuǎn)處不衰減粒子可以跑到無窮遠(yuǎn)。因此波函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處不趨于零不滿足束縛態(tài)的邊界條件。結(jié)論是當(dāng)粒子能量超過勢(shì)壘高度時(shí)不存在束縛態(tài)只有散射態(tài)?；卮饡r(shí)建議先寫束縛態(tài)的定義、再寫EU?時(shí)解的形式、最后下結(jié)論這樣三句話邏輯鏈清晰完整。有些同學(xué)在這里試圖用數(shù)值解法說明反而繞遠(yuǎn)路其實(shí)直接把通解寫出來對(duì)照定義就足夠了。4. 高頻考點(diǎn)三諧振子期望值綜合題——五大積分的標(biāo)準(zhǔn)流程4.1 歸一化系數(shù)的求解記住兩種常用積分公式第三題給出一維諧振子第一激發(fā)態(tài)的含時(shí)波函數(shù)要求按步驟求出歸一化系數(shù)、最可幾位置、位置期望值、動(dòng)量期望值、動(dòng)能期望值、勢(shì)能期望值和測(cè)不準(zhǔn)結(jié)果共占50分是絕對(duì)的主戰(zhàn)場(chǎng)。題目給了兩個(gè)積分公式∫_{-∞}^{∞}e^{-y2}dy√π∫_{-∞}^{∞}y2e^{-y2}dy√π/2第(1)問利用歸一化條件求系數(shù)A。作答過程可以這樣展開對(duì)A e^{-α2x2/2}e^{-iωt/2}取模平方后再積分含時(shí)相位因子互相抵消得到|A|2∫x2e^{-α2x2}dx1作變量替換yαx后積分化為α?3∫y2e^{-y2}dyα?3·√π/2所以A(4α3/√π)^(1/4)4.2 最可幾位置概率密度的極值問題第(2)問求最可幾位置定義是概率密度|ψ|2取最大值的位置。設(shè)w(x)|ψ|2∝x2e^{-α2x2}求導(dǎo)dw/dx(2x-2α2x3)e^{-α2x2}2x(1-α2x2)e^{-α2x2}令導(dǎo)數(shù)為零得到三個(gè)駐點(diǎn)x0和x±1/α。繼續(xù)檢查二階導(dǎo)或在三個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值可知x0處概率密度為零因此不是最大值x±1/α處概率密度達(dá)到峰值。答案最可幾位置為x±1/α。作答時(shí)注意把求導(dǎo)過程寫完整評(píng)分細(xì)則往往包含對(duì)“二階導(dǎo)判定”的檢查。4.3 期望值的奇偶性技巧直接識(shí)別奇函數(shù)第(3)問和第(4)問分別求x和p的期望值各占7分。雖然題目要求“根據(jù)期望值定義”但直接積分也不難。因?yàn)棣?(x)是奇函數(shù)|ψ?|2是偶函數(shù)被積函數(shù)x|ψ?|2是奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上積分為零得到?x?0。同理動(dòng)量算符作用于波函數(shù)后取共軛相乘整體被積函數(shù)仍是奇函數(shù)得到?p?0。這里用奇偶性判斷能大幅簡(jiǎn)化解題長(zhǎng)度但在答卷上要補(bǔ)一句“被積函數(shù)為奇函數(shù)在(-∞,∞)的積分為零”這樣就能做到既簡(jiǎn)潔又完整。有不少同學(xué)會(huì)執(zhí)著地把動(dòng)量算符改成-i??/?x做完整分部積分這在考試中并不劃算。4.4 動(dòng)能與勢(shì)能期望值把諧振子關(guān)系用到位第(5)問和第(6)問各占8分和7分是整個(gè)試卷計(jì)算量最大的部分。標(biāo)準(zhǔn)的推導(dǎo)是代入波函數(shù)積分。動(dòng)能期望值?T?(1/2μ)∫ψ*(-?2?2/?x2)ψ dx對(duì)第一激發(fā)態(tài)ψ?(x)關(guān)鍵步驟是作用完?2后再與ψ?共軛相乘展開過程中會(huì)出現(xiàn)x2和常數(shù)項(xiàng)的線性組合用題目給定的兩個(gè)積分即可完成積分。過程略寫關(guān)鍵結(jié)果為?T?3?ω/4勢(shì)能期望值同理對(duì)x2積分得到?U?3?ω/44.5 測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的最終答案用維里定理快速驗(yàn)證第(7)問求(Δx)2(Δp)2占7分。這里的計(jì)算分兩步先算Δx2?x2?-?x?2再算Δp2?p2?-?p?2。?x?0、?p?0已求出而?x2?可由勢(shì)能結(jié)果反推(1/2)μω2?x2??U?3?ω/4所以?x2?3?/(2μω)?p2?2μ?T?3μ?ω/2于是(Δx)2(Δp)2?x2??p2?9?2/4這大于?2/4滿足海森堡不等式。同時(shí)可以從第一激發(fā)態(tài)的n1層面對(duì)照一下諧振子第n能級(jí)的測(cè)不準(zhǔn)積分為(n1/2)2?2n1時(shí)代入正好是9?2/4這就是快速驗(yàn)證手段。5. 易錯(cuò)點(diǎn)與失分點(diǎn)五個(gè)最常踩的坑及答題修正方法5.1 測(cè)量波函數(shù)忘掉δ函數(shù)歸一化語境錯(cuò)在哪兒第一題第(1)問直接寫ψ(x,0)δ(x)不寫任何說明丟掉的不是1分的全部而是判分者印象分。為什么錯(cuò)測(cè)量后波函數(shù)等于位置本征態(tài)這是量子測(cè)量公設(shè)的結(jié)論直接寫結(jié)果會(huì)被認(rèn)為“背答案”而非“懂物理”。怎么答對(duì)先寫“位置測(cè)量使波函數(shù)塌縮到位置本征態(tài)”再寫數(shù)學(xué)表達(dá)式前后銜接成一句完整的物理判斷。5.2 最可幾位置只算駐點(diǎn)不做取舍錯(cuò)在哪兒第三題第(2)問求導(dǎo)后得到x0和x±1/α就直接答“三個(gè)極值點(diǎn)都是最可幾位置”。為什么錯(cuò)最可幾位置是概率密度的全局最大值x0處|ψ|20是極小值而非極大值判定時(shí)不做二階導(dǎo)檢查會(huì)選錯(cuò)點(diǎn)。怎么答對(duì)列駐點(diǎn)后逐一比較函數(shù)值寫出“x0處概率密度為零、x±1/α處概率密度最大”的比較過程。5.3 動(dòng)量期望值的算符方向漏負(fù)號(hào)錯(cuò)在哪兒求?p?時(shí)把-i??/?x寫成i??/?x產(chǎn)生整體負(fù)號(hào)誤差。為什么錯(cuò)動(dòng)量算符在坐標(biāo)表象的標(biāo)準(zhǔn)形式帶有-i?因子有的同學(xué)在分部積分過程中對(duì)系數(shù)整理不仔細(xì)最后雖然仍是0但中間步驟已經(jīng)出現(xiàn)符號(hào)混亂。怎么答對(duì)每次寫動(dòng)量算符都完整寫p?-i??/?x不要簡(jiǎn)寫成?/?x驗(yàn)證方式是對(duì)能量守恒系統(tǒng)動(dòng)量的期望值必須和位置時(shí)間導(dǎo)數(shù)滿足?p?μd?x?/dt關(guān)系。5.4 不確定度答案寫成ΔxΔp而不是平方形式錯(cuò)在哪兒第(7)問算完(Δx)2(Δp)29?2/4后直接答ΔxΔp3?/2但題目明確問的是(Δx)2(Δp)2的結(jié)果兩個(gè)數(shù)字意義不同。為什么錯(cuò)題目把平方符號(hào)寫得很清楚很多同學(xué)習(xí)慣性地按“測(cè)不準(zhǔn)積”的形式作答。怎么答對(duì)審題時(shí)圈出“(Δx)2(Δp)2”字樣先寫中間結(jié)果?x2??p2?9?2/4再單獨(dú)說明若需ΔxΔp則為3?/2。5.5 EU?證明非束縛態(tài)只寫“無窮遠(yuǎn)不趨于零”不留通解形式錯(cuò)在哪兒第二題第(5)問只寫“因?yàn)榻獠悔呌诹闼圆皇鞘`態(tài)”缺少通解展示。為什么錯(cuò)判分點(diǎn)要求邏輯鏈完整直接下結(jié)論會(huì)丟失“EU?時(shí)方程為振蕩型通解”這個(gè)關(guān)鍵過渡。怎么答對(duì)三步走——寫EU?時(shí)k/或κ為實(shí)數(shù)或純虛數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系、寫出兩側(cè)波函數(shù)的平面波通解、對(duì)照束縛態(tài)定義下結(jié)論每一步都占一個(gè)采分點(diǎn)。6. 答題策略120分鐘內(nèi)鎖定80分的執(zhí)行順序6.1 先做第三題再做第二題回頭補(bǔ)第一題從分值權(quán)重看諧振子第三題50分、勢(shì)場(chǎng)第二題31分、其余三題合計(jì)19分。120分鐘的時(shí)間分配應(yīng)清晰拉開梯度第三題建議控制在45分鐘左右第二題35分鐘第一題和第四題共25分鐘第五題和選做討論題最后15分鐘搶分。執(zhí)行順序可以從第三題開始——它的積分套路最機(jī)械、最容易拿滿分而且用到的變量替換和積分公式是考場(chǎng)上記得最牢的。第二題涉及分段解和宇稱分析需要思維切換放第二位做能保證頭腦清醒。6.2 按“步驟分”設(shè)計(jì)答題板面考試時(shí)每個(gè)小問會(huì)標(biāo)注分值這也可以用來安排篇幅。第(1)問如果是1分就寫一行物理判斷加一行數(shù)學(xué)表達(dá)式如果第(2)問是12分就展開成“設(shè)解-列方程-代入邊界-得到條件”四個(gè)自然段。答題紙上的推導(dǎo)過程要能讓判卷老師一眼看到關(guān)鍵等式不用把每個(gè)中間步驟都展開到極致。尤其是二階導(dǎo)檢查、奇偶性說明這類“潤色型步驟”寫得干凈反而能突出主線推導(dǎo)的完整。6.3 選做題的討論模板與押題方向第五題和帶星號(hào)的題目在考場(chǎng)上常被放棄但這類題的規(guī)律很明顯給一個(gè)量子信息或量子計(jì)量場(chǎng)景用20%的物理概念加80%的標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算。本題的分束器算符、自由演化的相位積累、末態(tài)概率差三步走實(shí)際上就是把二能級(jí)系統(tǒng)的拉比振蕩換了個(gè)外殼。備考時(shí)把諧振子、二能級(jí)、微擾論三個(gè)模塊的計(jì)算模板整理成一頁紙考前只看這頁紙就能覆蓋大部分選做題場(chǎng)景——每一類題目都對(duì)應(yīng)一個(gè)“設(shè)解-代入-化簡(jiǎn)”的套路。從那以后每次考前我只按這份模板做兩件事先按分值排好做題順序再默寫各小問的推導(dǎo)框架把所有計(jì)算題都變成填空題希望幫到你。本文還有配套的精品資源點(diǎn)擊獲取