上周有個(gè)初二學(xué)生拿著月考卷子來(lái)找我指著填空題“到三角形三邊距離相等的點(diǎn)是三角形的____心”說(shuō)“老師我填的外心錯(cuò)在哪”我說(shuō)你是不是把角平分線和垂直平分線記反了他不好意思地點(diǎn)點(diǎn)頭。這真不是我第一次遇到這種情況了——內(nèi)心、外心、重心、垂心這四個(gè)名字每個(gè)字單拎出來(lái)都認(rèn)識(shí)湊到一起就成了不少人的噩夢(mèng)。更麻煩的是這四“心”不只是填空題里考一下后面學(xué)圓、學(xué)相似、學(xué)解直角三角形甚至到高中向量、解析幾何都會(huì)頻繁冒出來(lái)?；A(chǔ)一旦沒(méi)打牢后面就是連鎖反應(yīng)地丟分。所以這篇文章我想換一個(gè)思路來(lái)講不從“背定義”入手而從它們?cè)趺幢划?huà)出來(lái)、有哪些功能、在題目里怎么說(shuō)人話把四個(gè)心一次性捋清楚。初中生、高中生或者家里有娃正在被四個(gè)心折磨的家長(zhǎng)都可以按這個(gè)思路過(guò)一遍。1. 從定義源頭拆開(kāi)四個(gè)“心”分別由什么線交出來(lái)四心最根本的區(qū)別在于“誰(shuí)和誰(shuí)相交”。每一組線不同得到的點(diǎn)就不同對(duì)應(yīng)的性質(zhì)也完全不同。混亂的根源往往就是把這四組線記串了。1.1 內(nèi)心三條角平分線的相遇點(diǎn)內(nèi)心這個(gè)詞我建議牢牢抓住兩個(gè)字內(nèi)切。它是三角形內(nèi)切圓的圓心是三條角平分線的交點(diǎn)。為什么角平分線交出來(lái)的是內(nèi)切圓圓心因?yàn)榻瞧椒志€有一個(gè)關(guān)鍵性質(zhì)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等。兩條角平分線交于一點(diǎn) I 之后I 到三邊的距離都相等這個(gè)距離正好就是內(nèi)切圓半徑 r。既然到三邊等距那就以 I 為圓心畫(huà)個(gè)圓圓剛好能貼住三條邊于是就有了內(nèi)切圓。所以以后看到“到三邊距離相等”這個(gè)條件第一反應(yīng)必須是內(nèi)心。角平分線怎么畫(huà)用圓規(guī)以頂點(diǎn)為圓心畫(huà)弧交角兩邊于兩個(gè)點(diǎn)再分別以這兩個(gè)點(diǎn)為圓心畫(huà)等半徑的弧交點(diǎn)與頂點(diǎn)連線就是角平分線。作兩條角平分線它們一交匯內(nèi)心就出來(lái)了。1.2 外心三條垂直平分線的相遇點(diǎn)外心是三角形外接圓的圓心對(duì)應(yīng)的是三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)。垂直平分線的性質(zhì)是垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)距離相等。兩條垂直平分線交于 O 之后O 到三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等這個(gè)距離就是外接圓半徑 R。所以“到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等”的點(diǎn)永遠(yuǎn)是外心。這里特別容易和內(nèi)心混。角平分線管的是“角”和“邊”的距離垂直平分線管的是“線段”和“端點(diǎn)”的距離。一句話概括內(nèi)心關(guān)心邊外心關(guān)心頂點(diǎn)。尺規(guī)作外心也很直接分別作兩條邊的垂直平分線交點(diǎn)就是外心。垂直平分線的畫(huà)法是取線段兩端點(diǎn)用大于線段一半的長(zhǎng)度作半徑兩端點(diǎn)各畫(huà)弧弧的兩個(gè)交點(diǎn)一連就是垂直平分線。1.3 重心三條中線的相遇點(diǎn)重心是三條中線的交點(diǎn)。中線是什么連接三角形一個(gè)頂點(diǎn)和對(duì)邊中點(diǎn)的線段。很多學(xué)生理解重心有天然優(yōu)勢(shì)因?yàn)槲锢碚n講過(guò)重心如果把這個(gè)三角形當(dāng)成一塊均勻的薄板用手指頂在某一點(diǎn)能讓它保持水平那個(gè)點(diǎn)就是重心。幾何上的重心和物理上的重心恰好是一回事。三條中線為什么一定交于一點(diǎn)你可以先畫(huà)兩條中線它們交于 G再連接第三個(gè)頂點(diǎn)和對(duì)邊中點(diǎn)那條線也會(huì)老老實(shí)實(shí)經(jīng)過(guò) G這就是三中線共點(diǎn)。共點(diǎn)的證明方法很多面積法、向量法都行初中階段先接受這個(gè)事實(shí)動(dòng)手畫(huà)圖驗(yàn)證更直觀。1.4 垂心三條高線的相遇點(diǎn)垂心是三條高線的交點(diǎn)。高線就是過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)邊的垂線三條高交于一點(diǎn) H這個(gè) H 就叫垂心。垂心的名字里帶一個(gè)“垂”字這是最重要的記憶鉤子。以后凡是題目里出現(xiàn)“直角”“垂直”“高”這些字眼能往垂心想的就往垂心想。比如題目說(shuō)“三角形兩條高交于一點(diǎn)這個(gè)點(diǎn)叫____”答案就是垂心。1.5 四心速查表定義與核心性質(zhì)一欄看清把四個(gè)心的定義和核心性質(zhì)放一張表里每一條都值得反復(fù)對(duì)照名稱由什么線相交得到核心性質(zhì)對(duì)應(yīng)的圓內(nèi)心三條角平分線到三邊距離相等內(nèi)切圓外心三條垂直平分線到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等外接圓重心三條中線重心分中線為2:1無(wú)物理平衡點(diǎn)垂心三條高線與三邊垂直關(guān)系相關(guān)無(wú)這張表背熟只是第一步更關(guān)鍵的是理解每行背后的邏輯。角平分線管“角”所以內(nèi)心盯的是角的兩邊垂直平分線管“線段”所以外心盯的是線段的端點(diǎn)中線管“中點(diǎn)”所以重心和中點(diǎn)比例脫不了關(guān)系高線管“垂直”所以垂心和垂直天生綁定。把“線”和“點(diǎn)”的對(duì)應(yīng)關(guān)系理清四個(gè)心就不太會(huì)記亂了。2. 決定它們“內(nèi)外”的規(guī)律為什么外心和垂心會(huì)跑到三角形外面很多人的第一個(gè)誤區(qū)是以為四個(gè)心永遠(yuǎn)都在三角形內(nèi)部。實(shí)際上三角形一變鈍外心和垂心就開(kāi)始“往外跑”。這是四心區(qū)分中最容易出問(wèn)題的地方必須單獨(dú)拎出來(lái)講清楚。2.1 銳角三角形四心都乖乖待在內(nèi)部銳角三角形是最“和諧”的狀態(tài)三個(gè)內(nèi)角都小于90°此時(shí)內(nèi)心在內(nèi)部因?yàn)樗山瞧椒志€相交得到角平分線本身全部在三角形內(nèi)部重心在內(nèi)部因?yàn)槿龡l中線都在三角形內(nèi)部相交垂心在內(nèi)部因?yàn)槿龡l高線也都落在三角形內(nèi)部外心在內(nèi)部因?yàn)槿龡l垂直平分線的交點(diǎn)此時(shí)正好落在三角形里面。所以只要題中說(shuō)“銳角三角形”你腦海里可以直接默認(rèn)四心全在內(nèi)部這樣很多選項(xiàng)題能一眼排除掉一半答案。2.2 直角三角形外心落在斜邊中點(diǎn)垂心落在直角頂點(diǎn)直角三角形是一個(gè)“臨界狀態(tài)”兩個(gè)心的位置發(fā)生了質(zhì)變外心斜邊BC上的垂直平分線、直角邊AB的垂直平分線、直角邊AC的垂直平分線它們的交點(diǎn)正好落在斜邊中點(diǎn)。所以直角三角形的外心就是斜邊中點(diǎn)外接圓半徑等于斜邊的一半。這也是“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半”這個(gè)定理的另一種版本——那條中線其實(shí)就是外接圓的半徑。垂心直角三角形兩條直角邊本身就是兩條高它們相交于直角頂點(diǎn)C第三條高也是從C出發(fā)垂直于斜邊。所以直角三角形的垂心不是別的正是直角頂點(diǎn)C。為了加深印象你可以畫(huà)一個(gè)銳角三角形然后想象其中一條直角邊慢慢“壓平”。當(dāng)其中一個(gè)角剛好到90°時(shí)外心從內(nèi)部滑到斜邊中點(diǎn)上垂心也正好挪到直角頂點(diǎn)上。這個(gè)變化是連續(xù)的不是憑空冒出來(lái)的。2.3 鈍角三角形外心和垂心雙雙離場(chǎng)三角形一旦變成鈍角三角形情況就開(kāi)始“失控”了內(nèi)心仍然在內(nèi)部因?yàn)榻瞧椒志€不會(huì)因?yàn)榻氢g就跑出去重心仍然在內(nèi)部因?yàn)橹芯€連接的是頂點(diǎn)和對(duì)邊中點(diǎn)始終在三角形內(nèi)部外心跑到三角形外部因?yàn)閮蓷l垂直平分線的交點(diǎn)已經(jīng)越過(guò)了某條邊垂心也跑到三角形外部因?yàn)殁g角所對(duì)的兩條高線畫(huà)出來(lái)之后它們的交點(diǎn)落到了三角形外面。很多學(xué)生第一次看到鈍角三角形的外心或垂心畫(huà)在外面時(shí)都很驚訝這也能叫“心”實(shí)際上數(shù)學(xué)里的“心”只是一個(gè)幾何交點(diǎn)的稱謂并不保證一定在圖形里面。因此做題時(shí)一定記得先判斷三角形類型再想每個(gè)心的位置順序反了就會(huì)踩坑。2.4 從“變鈍”的過(guò)程理解位置變化的本質(zhì)為什么角一鈍外心和垂心就往外跑我們可以拿等腰三角形舉例。畫(huà)一個(gè)頂角不斷增大的等腰三角形底邊水平放置。當(dāng)頂角比較小的時(shí)候外接圓圓心在三角形內(nèi)部頂角逐漸增大到正好90°時(shí)外接圓圓心落在斜邊此時(shí)是底邊如果頂角90°底邊是斜邊中點(diǎn)上頂角超過(guò)90°后外心就跑到三角形外面去了。垂心也有類似的“離場(chǎng)”過(guò)程當(dāng)頂角超過(guò)90°兩條腰上的高會(huì)在三角形外部相交。理解這個(gè)變化能幫你記住一個(gè)結(jié)論一般情況下內(nèi)心和重心永遠(yuǎn)在內(nèi)部外心和垂心在銳角三角形里也在內(nèi)部但只要三角形變鈍它們就雙雙跑出去。這個(gè)規(guī)律比硬記“哪個(gè)心在哪個(gè)位置”要可靠得多。3. 從用途和公式反過(guò)來(lái)記遇到這些條件該找哪個(gè)心光會(huì)判斷位置還不夠做題時(shí)更重要的問(wèn)題是看到什么條件該聯(lián)想到哪個(gè)心這一章我按“功能”給你梳理一遍每類心都配上最常考的公式和用法。3.1 內(nèi)心管內(nèi)切圓出角度公式和面積法內(nèi)心對(duì)應(yīng)的圓是內(nèi)切圓所以凡是牽涉到內(nèi)切圓半徑、到三邊距離的題目都在暗示你找內(nèi)心。內(nèi)心最?？嫉慕嵌裙绞恰螧IC 90° ?∠A其中 I 是內(nèi)心。這個(gè)式子怎么來(lái)的因?yàn)?BI、CI 是角平分線所以在三角形 BIC 中底角分別是∠B的一半和∠C的一半于是∠BIC 180° - (?∠B ?∠C) 180° - ?(180° - ∠A) 90° ?∠A理解了這個(gè)推導(dǎo)你就不必死記公式了考試時(shí)現(xiàn)場(chǎng)推都能寫(xiě)出來(lái)。相比后面要講的外心和垂心角度公式這個(gè)公式帶著“半角”很容易識(shí)別。內(nèi)心還有一個(gè)非常實(shí)用的面積關(guān)系。設(shè)三角形面積為 S半周長(zhǎng)為 s (abc)/2內(nèi)切圓半徑為 r則S r·s因?yàn)榘褍?nèi)心和三個(gè)頂點(diǎn)連起來(lái)三角形會(huì)被分成三個(gè)小三角形每個(gè)小三角形的高都是 r所以總面積就是 ?ar ?br ?cr r·(abc)/2 r·s。這個(gè)公式是求內(nèi)切圓半徑的萬(wàn)能鑰匙。3.2 外心管外接圓和正弦定理綁定外心對(duì)應(yīng)的圓是外接圓所以提到外接圓半徑 R考點(diǎn)基本都掛靠在外心身上。最出名的是正弦定理a / sin A b / sin B c / sin C 2R這里的 R 就是外接圓半徑圓心就是外心。這個(gè)公式是求解三角形外接圓半徑、邊長(zhǎng)、角度的重要工具高中階段會(huì)大量使用。外心的角度公式也要記牢若 O 是外心∠BAC ∠A 所對(duì)的弧是弧 BC那么圓心角 ∠BOC 2∠A銳角三角形直接成立鈍角時(shí)注意取對(duì)應(yīng)弧的圓心角關(guān)系常常借助“同弧所對(duì)圓周角等于圓心角一半”來(lái)轉(zhuǎn)換。本質(zhì)上這就是圓周角定理同弧上的圓周角是圓心角的一半。所以外心和“倍數(shù)關(guān)系”綁定看到 2 倍角優(yōu)先想外心。直角三角形中外心在斜邊中點(diǎn)上所以外接圓半徑 R 斜邊/2這也是很常見(jiàn)的考點(diǎn)解題時(shí)能直接用。3.3 重心中線的比例、坐標(biāo)與平衡點(diǎn)重心相關(guān)的考點(diǎn)明確且集中在三個(gè)方向第一重心把每條中線分成 2:1。準(zhǔn)確說(shuō)法是若 AD 是中線G 是重心則 AG:GD 2:1。也就是從頂點(diǎn)到重心的長(zhǎng)度是重心到對(duì)邊中點(diǎn)長(zhǎng)度的兩倍。所以重心位于每條中線上距離頂點(diǎn)三分之二處。記憶技巧上面這一段長(zhǎng)是 2 份下面這一段短是 1 份。第二重心坐標(biāo)公式。在平面直角坐標(biāo)系中若三角形三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)是 A(x?, y?)、B(x?, y?)、C(x?, y?)則重心 G 的坐標(biāo)是G((x?x?x?)/3, (y?y?y?)/3)就是三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別求平均。這個(gè)公式在解析幾何題里非常實(shí)用本質(zhì)上是重心作為“平均點(diǎn)”的體現(xiàn)。第三重心和面積的關(guān)系。連接重心和三個(gè)頂點(diǎn)會(huì)把原來(lái)的三角形分成三個(gè)面積相等的小三角形。也就是說(shuō) △ABG、△BCG、△CAG 面積相等。遇到“三等分面積”“中線交點(diǎn)”類的題目直接鎖定重心。3.4 垂心垂直關(guān)系與補(bǔ)角公式垂心的核心是“垂直”。凡是題目出現(xiàn)高線、垂直符號(hào)、直角條件都可以往垂心靠。垂心也有一個(gè)角度公式和內(nèi)心的公式很容易混淆若 H 是垂心在銳角三角形中∠BHC 180° - ∠A這個(gè)式子的幾何直覺(jué)是BH 垂直于 ACCH 垂直于 AB兩邊分別垂直的兩條線它們的夾角和原來(lái)的角互補(bǔ)所以是 180° 減去 ∠A。這和內(nèi)心的 90° ?∠A 完全是兩個(gè)味道一定要分清楚。一看到公式里是“180°減”就想到垂心一看到“90°加半角”就想到內(nèi)心。垂心還有一個(gè)經(jīng)典結(jié)論銳角三角形的垂心 H 和三個(gè)頂點(diǎn)連接形成的四個(gè)三角形中每個(gè)三角形的外接圓都和原三角形一樣更進(jìn)階的結(jié)論是垂心關(guān)于三邊的對(duì)稱點(diǎn)都在原三角形的外接圓上。這個(gè)作為拓展了解即可競(jìng)賽題里偶爾會(huì)用到。3.5 一道直角三角形例題把兩個(gè)半徑一次算清光講公式不練不行。拿最經(jīng)典的 5-12-13 直角三角形來(lái)演示。有一個(gè)直角三角形直角邊分別為 5 和 12斜邊為 13。外接圓半徑直角三角形外心在斜邊中點(diǎn)所以 R 13/2 6.5。內(nèi)切圓半徑先用面積法。面積 S ? × 5 × 12 30半周長(zhǎng) s (51213)/2 15于是 r S/s 30/15 2。如果你用直角三角形的特殊公式 r (ab-c)/2 (512-13)/2 2也能對(duì)上。這題同時(shí)把外心、內(nèi)心、內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑全串起來(lái)了每次做一遍都能強(qiáng)化記憶。4. 高頻錯(cuò)題復(fù)盤(pán)最容易搞混的四組陷阱學(xué)生最容易錯(cuò)的不是難題而是那些看起來(lái)特別基礎(chǔ)、實(shí)際上暗藏陷阱的題。下面這幾個(gè)坑我教過(guò)的學(xué)生基本都踩過(guò)提前打預(yù)防針能少丟很多冤枉分。4.1 陷阱一把“角平分線”和“垂直平分線”記反最典型的錯(cuò)法就是開(kāi)頭的填空題到三邊距離相等的點(diǎn)填成“外心”。本質(zhì)是把“角平分線交點(diǎn)內(nèi)心”和“垂直平分線交點(diǎn)外心”記反了。如何根治記住這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系角平分線管“角”角的兩邊都是邊所以角平分線交點(diǎn)是到“三邊”等距的內(nèi)心垂直平分線管“線段”線段的端點(diǎn)是頂點(diǎn)所以垂直平分線交點(diǎn)是到“三頂點(diǎn)”等距的外心。以后只要看到題干里出現(xiàn)“邊”還是“頂點(diǎn)”答案就二選一到三邊距離相等 → 內(nèi)心到三頂點(diǎn)距離相等 → 外心這個(gè)“邊和頂點(diǎn)”的區(qū)分比單純背哪個(gè)線交哪個(gè)心更抗遺忘。4.2 陷阱二默認(rèn)外心、垂心永遠(yuǎn)在內(nèi)部很多學(xué)生在選擇題里看到“外心一定在三角形內(nèi)部”這種表述順手就打勾然后丟分。正確的結(jié)論是外心在銳角三角形內(nèi)部在直角三角形斜邊中點(diǎn)處在鈍角三角形外部。垂心類似銳角在內(nèi)部直角在直角頂點(diǎn)鈍角在外部。做題時(shí)看到“一定”“始終”“永遠(yuǎn)”這種絕對(duì)化詞語(yǔ)要立刻警惕。四心里只有內(nèi)心和重心敢說(shuō)“任何三角形都在內(nèi)部”外心和垂心都不敢說(shuō)這個(gè)話。把這個(gè)意識(shí)刻在腦子里能避開(kāi)大量送命題。4.3 陷阱三三個(gè)角度公式互相串臺(tái)內(nèi)心 ∠BIC 90° ?∠A外心 ∠BOC 2∠A垂心 ∠BHC 180° - ∠A。這三個(gè)公式分別是“半角”“二倍角”“補(bǔ)角”非常容易記混。我有一個(gè)實(shí)用的辨析方法外心和圓綁在一起圓里最經(jīng)典的結(jié)論是“圓周角二倍于圓心角”所以外心用 2∠A內(nèi)心是角平分線交點(diǎn)和“一半”有關(guān)所以是 90° 加半角垂心和高有關(guān)高的定義是 90°但三個(gè)高互相一交叉反而和“補(bǔ)角 180° 減”綁定。你可以把這三個(gè)公式掛靠在對(duì)應(yīng)的圖形上一塊記畫(huà)一個(gè)銳角三角形標(biāo)出內(nèi)心、外心、垂心把三個(gè)角分別寫(xiě)上去圖一畫(huà)出來(lái)公式自然就能恢復(fù)。4.4 陷阱四重心分線比例記成 1:1重心把中線分成 2:1這個(gè)比例是另一個(gè)高頻丟分點(diǎn)。我見(jiàn)過(guò)不少學(xué)生記成 1:1或者把方向記反。方向怎么記重心的位置更靠近底邊還是更靠近頂點(diǎn)更靠近底邊。因?yàn)橹匦牡巾旤c(diǎn)的距離是中線全長(zhǎng)的 2/3到底邊中點(diǎn)的距離是 1/3。也就是說(shuō)頂點(diǎn)到重心這段更長(zhǎng)重心到中點(diǎn)這段更短?！绊旤c(diǎn)那一段是兩份底下那一段是一份”這樣記就不會(huì)反。4.5 考場(chǎng)上最快的判別路徑如果你做題時(shí)腦子突然一片空白先不要慌按下面這個(gè)路徑一層層過(guò)題干說(shuō)“中點(diǎn)、中線、比例 2:1、坐標(biāo)平均”→ 重心題干說(shuō)“垂直、高、直角”→ 垂心題干說(shuō)“到三邊距離相等、內(nèi)切圓、角平分線”→ 內(nèi)心題干說(shuō)“到三頂點(diǎn)距離相等、外接圓、垂直平分線、正弦定理”→ 外心。這套判別路徑基本覆蓋了初中到高中九成的四心題目。核心思路是從“條件關(guān)鍵詞”出發(fā)而不是從“心名”出發(fā)。倒過(guò)來(lái)找往往更穩(wěn)。5. 最后用一套記憶框架收攏從口訣、尺規(guī)作圖到歐拉線前面幾章都是拆分這一章把它們重新組裝成一個(gè)整體。四個(gè)心不是孤立的四個(gè)點(diǎn)它們之間有聯(lián)系、有規(guī)律抓住這些規(guī)律之后記憶量會(huì)小很多。5.1 口訣四句話鎖住四個(gè)心口訣可以這樣編角平分線交內(nèi)心內(nèi)切圓到邊等距親 中垂線交是外心外接圓到頂?shù)染嘟?中線交點(diǎn)是重心分線二比一記分明 高線交點(diǎn)是垂心垂直方向定乾坤。這個(gè)口訣把“什么線交出來(lái)、對(duì)應(yīng)什么圓、關(guān)鍵性質(zhì)是什么”全塞進(jìn)去了讀三遍就能記住骨架。如果再配上前面講的“邊還是頂點(diǎn)”“倍數(shù)還是補(bǔ)角”這些辨析點(diǎn)細(xì)節(jié)也不容易丟。5.2 親手畫(huà)一遍尺規(guī)作圖比背十遍都有用我建議所有學(xué)生都做一次這個(gè)手工操作在一張紙上畫(huà)一個(gè)銳角三角形然后用尺規(guī)作出四心內(nèi)心選兩個(gè)角作角平分線交點(diǎn)就是內(nèi)心外心選兩條邊作垂直平分線交點(diǎn)就是外心重心選兩條邊找中點(diǎn)連中線交點(diǎn)就是重心垂心選兩條邊過(guò)對(duì)頂點(diǎn)作垂線交點(diǎn)就是垂心。畫(huà)完之后再畫(huà)一個(gè)直角三角形、一個(gè)鈍角三角形分別重復(fù)一遍。你親眼看到外心在直角三角形落在斜邊上、在鈍角三角形彈出外部看到垂心在直角三角形變成直角頂點(diǎn)這種視覺(jué)記憶遠(yuǎn)比文字定義深刻。尺規(guī)作圖這一步能把你從“知道”推進(jìn)到“理解”再做選擇題時(shí)反應(yīng)速度完全不一樣。5.3 讓特殊三角形當(dāng)你的記憶錨點(diǎn)幾個(gè)特殊三角形的四心位置可以作為你最省力的記憶錨點(diǎn)等邊三角形四心合一都在同一點(diǎn)上。等邊三角形是三心共點(diǎn)嗎不僅三個(gè)是四個(gè)心全部重合在正中心。此時(shí)外接圓半徑 R 是高的 2/3內(nèi)切圓半徑 r 是高的 1/3并且 R 2r。重心分高的比例 2:1 在這里看得最直觀。等腰三角形四心都在底邊的垂直平分線也就是對(duì)稱軸上。雖然不重合但都在同一條直線上。這個(gè)結(jié)論可以用來(lái)做動(dòng)態(tài)思考當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀遣粩嘧兓男脑趯?duì)稱軸上滑來(lái)滑去變化方向一目了然。直角三角形外心是斜邊中點(diǎn)垂心是直角頂點(diǎn)。這個(gè)錨點(diǎn)一旦建立直角三角形相關(guān)的四心題目就是送分題。5.4 進(jìn)階彩蛋歐拉線和旁心如果你基礎(chǔ)不錯(cuò)或者以后準(zhǔn)備參加競(jìng)賽還可以了解一條漂亮的結(jié)論外心 O、重心 G、垂心 H 三點(diǎn)共線并且 G 在 O 和 H 之間滿足 OG : GH 1 : 2。這條線叫作歐拉線。內(nèi)心一般不在歐拉線上這是歐拉線和內(nèi)心之間的一個(gè)重要區(qū)別。驗(yàn)證歐拉線最直觀的方法是畫(huà)一個(gè)等腰三角形。因?yàn)榈妊切蔚乃男娜趯?duì)稱軸上所以 O、G、H 天然共線再量一下三段長(zhǎng)度你會(huì)發(fā)現(xiàn) OG 正好是 GH 的一半。等邊三角形時(shí)O、G、H 重合這條線退化成一個(gè)點(diǎn)。還有一個(gè)延伸概念叫旁心。三角形除了內(nèi)心還有三個(gè)旁心分別是兩條外角平分線和一條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)。旁心也是“到三邊距離相等”的點(diǎn)只不過(guò)位置在三角形外部。如果你能理解內(nèi)心是“貼在里面”的內(nèi)切圓圓心那旁心就是“貼在外面”的旁切圓圓心。旁心在初中基礎(chǔ)題里不?？嫉浪拇嬖谀銓?duì)四心的理解會(huì)產(chǎn)生一種“俯視感”。5.5 三分鐘自測(cè)你究竟分清沒(méi)有合上書(shū)問(wèn)自己下面這幾個(gè)問(wèn)題每個(gè)都能迅速回答出來(lái)才算過(guò)關(guān)到三角形三邊距離相等的點(diǎn)是什么心它由什么線相交得到到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是什么心直角三角形中它在什么位置重心分中線的比例是多少鈍角三角形中內(nèi)心、外心、垂心各在哪個(gè)位置∠BIC 90° ?∠A 對(duì)應(yīng)哪個(gè)心∠BOC 2∠A 對(duì)應(yīng)哪個(gè)心∠BHC 180° - ∠A 對(duì)應(yīng)哪個(gè)心如果中間卡殼了回到前面對(duì)應(yīng)的章節(jié)再看一眼。四個(gè)心的內(nèi)容就這么多本質(zhì)上是一張“線—點(diǎn)—性質(zhì)”的對(duì)應(yīng)表捋順一次之后基本不用再回頭背。最后說(shuō)一點(diǎn)我自己的教學(xué)體會(huì)這四個(gè)心你光看十遍不如動(dòng)手畫(huà)一遍。拿一張白紙畫(huà)一個(gè)銳角三角形用尺規(guī)把四心全找出來(lái)再畫(huà)一個(gè)鈍角三角形親眼看外心和垂心是怎么“跑”出去的。只要親手畫(huà)過(guò)一輪那些定義和性質(zhì)自然就長(zhǎng)在腦子里了。真到了考場(chǎng)上你甚至不需要刻意回憶口訣——拿起筆那個(gè)圖形的構(gòu)造過(guò)程自己會(huì)帶你把答案找出來(lái)。